संख्या पद्धति

Number System · 8 प्रश्न · मध्यमकठिन

संख्या पद्धति में शेषफल, गुणनखंड, विभाज्यता और संख्याओं के गुण आते हैं। कई प्रश्नों में पूछा जाता है कि किसी संख्या को विभाज्य बनाने के लिए उसमें कौन-सी सबसे छोटी संख्या जोड़ी या घटाई जाए।

💡 शॉर्ट ट्रिक्स

n को d से विभाज्य बनाने के लिए d − (n को d से भाग देने पर शेषफल) जोड़ें, या वही शेषफल घटाएँ।
यदि n = p^a × q^b × … हो, तो n के (a + 1)(b + 1)… भाजक होते हैं।
शेषफलों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है; अंत में परिणाम का शेषफल फिर से निकाल लें।

🧭 संख्या पद्धति के प्रश्न कैसे हल करें

n को d से विभाज्य बनाने के लिए n को d से भाग देने पर शेषफल r निकालें। d − r जोड़ें, या r घटाएँ। यदि r का मान 0 है, तो कुछ करने की ज़रूरत नहीं।
किसी घात का इकाई अंक निकालने के लिए आधार का केवल इकाई अंक लें और उसकी घातें तब तक लिखें जब तक इकाई अंक दोहराने न लगें। यह चक्र 1, 2 या 4 अंकों का होता है।
घातांक को चक्र की लंबाई से भाग दें। शेषफल 1, 2 या 3 चक्र में उसी स्थान को चुनता है, और शेषफल 0 अंतिम स्थान को।
गुणनखंडों की संख्या के लिए n को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखें, हर घात में 1 जोड़ें और परिणामों को गुणा करें।

✍️ हल किया गया उदाहरण

23^43 का इकाई अंक क्या है?

आधार का केवल इकाई अंक मायने रखता है, इसलिए 3 की घातें देखें।
3 की घातें 3, 9, 27, 81, 243 इत्यादि हैं। इनके इकाई अंक 3, 9, 7, 1 आते हैं और फिर दोहराते हैं, इसलिए चक्र की लंबाई 4 है।
43 ÷ 4 = 10, शेषफल 3।
शेषफल 3 चक्र 3, 9, 7, 1 का तीसरा अंक चुनता है, जो 7 है।

उत्तर: 7

⚠️ आम गलतियाँ

शेषफल 0 को चक्र का पहला स्थान मान लेना: 7^40 में 40 ÷ 4 पर शेषफल 0 बचता है, इसलिए चक्र 7, 9, 3, 1 का अंतिम अंक लें, जो 1 है।
गुणनखंड गिनते समय हर घात में 1 जोड़ना भूल जाना: 72 = 2³ × 3² के (3 + 1)(2 + 1) = 12 गुणनखंड हैं, 3 × 2 = 6 नहीं।
d − r के बजाय शेषफल ही जोड़ देना: 500 ÷ 12 का शेषफल 8 है, इसलिए 504 बनाने के लिए 4 जोड़ें, 8 नहीं।

8 प्रश्न

🎯 खुद हल करें

अब ये 8 प्रश्न खुद हल करें। किसी उत्तर पर टैप करें: तुरंत पता चलेगा कि वह सही है या नहीं, और क्यों। आसान प्रश्न पहले हैं।

Q1मध्यम

57^63 का इकाई अंक क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: C. 3
💡 7 की घातों के इकाई अंक एक चक्र में दोहराए जाते हैं; घात 63 के लिए इकाई अंक 3 है।
Q2मध्यम

1 और 195 सहित, 195 के सभी गुणनखंडों का योग क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: A. 336
💡 195 = 3 × 5 × 13: (1 + 3)(1 + 5)(1 + 13) = 4 × 6 × 14 = 336।
Q3मध्यम

द्विआधारी पद्धति में 1010110001 किस संख्या को दर्शाता है?
उत्तर देखें
उत्तर: B. 689
💡 स्थानीय मानों का योग: 512 + 128 + 32 + 16 + 1 = 689।
Q4मध्यम

23^50 का इकाई अंक क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: B. 9
💡 3 की घातों के इकाई अंक एक चक्र में दोहराए जाते हैं; घात 50 के लिए इकाई अंक 9 है।
Q5कठिन

720 के कितने गुणनखंड हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A. 30
💡 720 = 2^4 × 3^2 × 5^1, इसलिए इसके (4+1)(2+1)(1+1) = 30 गुणनखंड हैं।
Q6कठिन

1,000 के 1 से लेकर स्वयं 1,000 तक सभी गुणनखंडों को जोड़िए। योग कितना है?
उत्तर देखें
उत्तर: C. 2,340
💡 1,000 = 2³ × 5³: (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 5 + 25 + 125) = 15 × 156 = 2,340।
Q7कठिन

50 के कितने गुणनखंड हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: C. 6
💡 50 = 2^1 × 3^0 × 5^2, इसलिए इसके (1+1)(0+1)(2+1) = 6 गुणनखंड हैं।
Q8कठिन

1 और 1,248 सहित, 1,248 के सभी गुणनखंडों का योग कितना है?
उत्तर देखें
उत्तर: A. 3,528
💡 1,248 = 2⁵ × 3 × 13: (1 + 2 + … + 32)(1 + 3)(1 + 13) = 63 × 4 × 14 = 3,528।

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