बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

Algebraic Identities · 8 प्रश्न · कठिन

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं से आप a और b को जाने बिना ही a² + b² जैसे व्यंजकों का मान निकाल सकते हैं।

💡 शॉर्ट ट्रिक्स

(a + b)² = a² + 2ab + b², इसलिए a² + b² = (a + b)² − 2ab।
(a − b)² = a² − 2ab + b², इसलिए a² + b² = (a − b)² + 2ab।
a² − b² = (a + b)(a − b)।

🧭 बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ के प्रश्न कैसे हल करें

लिखें कि आपको क्या दिया गया है (a + b या a − b, और ab) और क्या ज्ञात करना है।
उन्हें जोड़ने वाली सर्वसमिका चुनें: a + b ज्ञात हो तो (a + b)² = a² + 2ab + b², और a − b ज्ञात हो तो (a − b)² = a² − 2ab + b²।
दिए गए योग या अंतर का वर्ग करें, फिर 2ab घटाएँ (योग से) या 2ab जोड़ें (अंतर से)।
एक से दूसरे पर जाने के लिए (a + b)² = (a − b)² + 4ab का उपयोग करें।
यदि पूर्ण संख्याएँ बैठती हों, तो a और b निकालें और उत्तर सीधे जाँचें।

✍️ हल किया गया उदाहरण

यदि a − b = 11 और ab = 210 है, जहाँ a और b धनात्मक हैं, तो a² + b² और a + b ज्ञात कीजिए।

a − b ज्ञात है, इसलिए a² + b² = (a − b)² + 2ab का उपयोग करें।
(a − b)² = 11² = 121 और 2ab = 2 × 210 = 420।
a² + b² = 121 + 420 = 541।
अब (a + b)² = a² + b² + 2ab = 541 + 420 = 961, इसलिए a + b = √961 = 31 (धनात्मक, क्योंकि a और b धनात्मक हैं)।
जाँच: a = 21 और b = 10 लेने पर 21 − 10 = 11, 21 × 10 = 210 और 441 + 100 = 541।

उत्तर: a² + b² = 541 और a + b = 31

⚠️ आम गलतियाँ

(a + b)² को a² + b² लिख देना: बीच का पद 2ab हमेशा रहता है। a = b = 1 लेकर जाँचें: (1 + 1)² = 4, 2 नहीं।
2ab का चिह्न गलत लेना: a + b से शुरू करें तो 2ab घटाएँ, a − b से शुरू करें तो जोड़ें।
2ab की जगह ab घटाना: बीच का पद गुणनफल का दोगुना होता है, इसलिए उपयोग से पहले ab को दोगुना करें।

8 प्रश्न

🎯 खुद हल करें

अब ये 8 प्रश्न खुद हल करें। किसी उत्तर पर टैप करें: तुरंत पता चलेगा कि वह सही है या नहीं, और क्यों। आसान प्रश्न पहले हैं।

Q1कठिन

यदि a+b = 13 और a×b = 40 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: C. 89
💡 a² + b² = (a+b)² − 2×a×b = 169 − 80 = 89।
Q2कठिन

यदि a+b = 9 और a×b = 14 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: A. 53
💡 a² + b² = (a+b)² − 2×a×b = 81 − 28 = 53।
Q3कठिन

यदि a−b = 5 और a×b = 36 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: C. 97
💡 a² + b² = (a−b)² + 2×a×b = 25 + 72 = 97।
Q4कठिन

यदि a+b = 11 और a×b = 28 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: B. 65
💡 a² + b² = (a+b)² − 2×a×b = 121 − 56 = 65।
Q5कठिन

यदि a+b = 3 और a×b = 2 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: C. 5
💡 a² + b² = (a+b)² − 2×a×b = 9 − 4 = 5।
Q6कठिन

यदि a−b = 3 और a×b = 4 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: D. 17
💡 a² + b² = (a−b)² + 2×a×b = 9 + 8 = 17।
Q7कठिन

यदि a−b = 1 और a×b = 56 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: A. 113
💡 a² + b² = (a−b)² + 2×a×b = 1 + 112 = 113।
Q8कठिन

यदि a−b = 1 और a×b = 2 है, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
उत्तर: D. 5
💡 a² + b² = (a−b)² + 2×a×b = 1 + 4 = 5।

क्या आप तेज़ हैं?

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